Question

8．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO=1：2，菱形ABCD的面积S=$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 先找出AO，BO的关系，再确定出AB，用勾股定理确定出x的平方，最后用菱形的面积公式即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2AO，BD=2BO，
∵AC：BD=1：2，
∴AO：BO=1：2；
设AO=x，（x＞0）
则BO=2x，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=2，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AO²+BO²=AB²，
∴x²+（2x）²=4，
∴x²=$\frac{4}{5}$，
∵AC=2AO=2x，BD=2BO=4x，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC×BD=$\frac{1}{2}$×2x×4x=4x²=4×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$，
故答案为：1：2，$\frac{16}{5}$．

点评 此题是菱形的性质，主要考查的菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式，解本题的关键求出x的平方的值．