Question

（2011•宝安区一模）如图1，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若矩形EFMN的顶点F、M在位于x轴上方的抛物线上，一边EN在x轴上（如图2）．设点E的坐标为（x，0），矩形EFMN的周长为L，求L的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）的前提下（即当L取得最大值时），在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△PMN沿直线PN折叠后，点M刚好落在y轴上？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用交点式假设出二次函数解析式，求出即可；
（2）利用L=2EN+2EF=4（1-x）+2（-x²+2x+3），有二次函数的最值求法得出答案；
（3）首先设存在满足条件的点P（1，y），进而利用勾股定理得出PM²+PN²=MN²，即可得出y的值，进而得出P点坐标．

解答：（1）解：由题意可设抛物线为y=a（x+1）（x-3），
抛物线过点（0，3），
∴3=a（0+1）（0-3），
解得：a=-1，
抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3），
即：y=-x²+2x+3；

（2）解：由（1）得抛物线的对称轴为直线x=1，
∵E（x，0），
∴F（x，-x²+2x+3），EN=2（1-x），
∴L=2EN+2EF=4（1-x）+2（-x²+2x+3），
化简得  l=-2x²+10，
∵-2＜0，
∴当x=0时，L取得最大值是10，
此时点E的坐标是（0，0）；

（3）解：由（2）得：E（0，0），F（0，3），M（2，3），N（2，0），
设存在满足条件的点P（1，y），
并设折叠后点M的对应点为M₁，
∴∠NPM=∠NPM₁=90°，PM=PM₁，
PG=3-y，GM=1，PH=|y|，HN=1，
∵∠NPM=90°，
∴PM²+PN²=MN²，
∴（3-y）²+1²+y²+1²=3²，
解得：y1=

3+ 5

2

，y2=

3- 5

2

，
∴点P的坐标为（1，

3+ 5

2

）或（1，

3- 5

2

），
当点P的坐标为（1，

3+ 5

2

）时，
连接PC，
∵PG是CM的垂直平分线，
∴PC=PM，
∵PM=PM₁，∴PC=PM=PM₁，
∴∠M₁CM=90°，
∴点M₁在y轴上，
同理可得当点P的坐标为（1，

3- 5

2

）时，点M₁也在y轴上，
故存在满足条件的点P，点P的坐标为（1，

3+ 5

2

）或（1，

3- 5

2

）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理以及二次函数的最值，利用数形结合得出P点坐标特点以及∠NPM=∠NPM₁=90°是解题关键．