Question

如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是

2-

2

2

．

Answer 1

分析：根据三角形的面积公式，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C相切时，BE的值最小，根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解．

解答：解：如图所示，当AD与⊙C相切时，线段BE最短，此时△ABE面积的最小，
∵A（2，0），C（-1，0），⊙C半径为1，
∴AO=2，AC=2+1=3，CD=1，
在Rt△ACD中，AD=

AC2-CD2

=

32-12

=2

2

，
∵CD⊥AD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠AOE，
在△AOE与△ADC中，

∠D=∠AOE ∠EAO=∠CAD

，
∴△AOE∽△ADC，
∴

EO

CD

=

AO

AD

，
即

EO

1

=

2

2 2

，
解得EO=

2

2

，
∵点B（0，2），
∴OB=2，
∴BE=OB-OE=2-

2

2

，
∴△ABE面积的最小值=

1

2

×BE×AO=

1

2

（2-

2

2

）×2=2-

2

2

．
故答案为：2-

2

2

．

点评：本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键．