Question

如图12-1，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点 P是 ⊙O 上一点，连结CP、AP,作射线BP．

（1）求证：PC平分∠APB；

（2）试猜想线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图12-2，过点A做⊙O的切线交射线BP于点D.若AD=2，PD=1，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）∵三角形ABC是等边三角形

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°………………………………………………1分

∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点 P是 ⊙O 上一点，

∴∠BPC=∠BAC, ∠APC=∠ABC……………………………………………2分

∴∠BPC= ∠APC

∴PC平分∠APB………………………………………………………………3分

（2）PA+PB=PC， ……………………………………………………………………4分

证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，

∵PF=PB，∠BPC=60°，

∴△PBF是等边三角形，

∴PB=BF，∠BFP=60°，

∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，

∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，

∴∠BPA=∠BFC，……………………………………………………5分

在△BPA和△BFC中，，

∴△BPA≌△BFC（AAS），

∴PA=FC，AB=BC，

∴PA+PB=PF+FC=PC；   ……………………………………………………6分

（其它证明方法按步骤酌情给分）

（3）作⊙O的直径AE，连接PE，

AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，

∠DAE=∠APE=90°，

∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，

∴∠PAD=∠E，

∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，

∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，

∴△ADP∽△BDA，

∴==，

∵AD=2，PD=1

∴BD=4，AB=2AP，

∴BP=BD﹣DP=3，………………………………………………………………7分

∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，

∴∠APD=∠APC，

∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，

∴∠PAD=∠PCA，

∴△ADP∽△CAP，………………………………………………………………8分

∴=，

∴AP²=CP•PD，

∴AP²=（3+AP）•1，

解得：AP=或AP=（舍去），

∴BC=AB=2AP=1+．………………………………………………………………9分

∴⊙O的半径为……………………………………10分