Question

已知一个梯形的四条边长分别为1，2，3，4，则此梯形面积等于

 

．

Answer 1

分析：首先过点D作DE∥AB交BC于E，易证得四边形ABED是平行四边形，即可得DE=AB，BE=AD，然后利用三角形三边关系分别分析1，2，3，4分别是那个边的值，即可确定AD=1，AB=2，BC=4，CD=3，然后过点C作CF⊥DE于F，过点D作DH⊥BC于H，利用等腰三角形的性质与勾股定理求得CF的长，又由三角形面积的求解方法，求得梯形的高DH的长，继而求得此梯形面积．

解答：
解：过点D作DE∥AB交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，BE=AD，
若AD=1，AB=2，BC=3，CD=4，
则DE=2，EC=BC-BE=BC-AD=3-1=2，
∵DE+EC=2+2=4=CD，∴此时不能组成三角形，既不能组成梯形，
同理可判定：AD=1，AB=2，BC=4，CD=3，
过点C作CF⊥DE于F，过点D作DH⊥BC于H，
∵EC=BC-BE=4-1=3，CD=3，DE=2，
∴DF=EF=1，
∴CF=

CD2-DF2

=2

2

，
∵S_△CDE=

1

2

DE•CF=

1

2

EC•DH，
∴DH=

DE•CF

EC

=

2×2 2

3

=

4 2

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•DH=

1

2

×（1+4）×

4 2

3

=

10 2

3

．
故答案为：

10 2

3

．

点评：此题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理的应用等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意分类讨论思想与数形结合思想的应用．