Question

3．如图，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连结AF和BE，如果直线EB交直线AF于点D．
（1）求证：AF=BE；
（2）当△CEF绕点C旋转时，∠ADB的大小是否发生变化？（直接给出答案）

Answer 1

分析 （1）根据题中所给的等边三角形的条件，两对边对应相等，有一个角都等于60°-∠FBC，利用SAS证AF和BE所在的三角形全等即可；
（2）∠ADB的大不变化，由（1）中的全等三角形可知∠AFC=∠BEC，再根据等边三角形的性质以及三角形外角和定理可求出∠ADB=120°，是一个定值，即不发生变化．

解答 （1）证明：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠ECF=60°，
∴∠ACF=60°-∠BCF，∠BCE=60°-∠BCF，
∴∠ACF=∠BCE，
在△AFC与△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCE}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△BEC（SAS），
∴AF=BE；
（2）∠ADB的大不变化，理由如下：
∵△AFC≌△BEC，
∴∠AFC=∠BEC，
∴∠AFC+∠FED=∠BEC+∠EFD=60°
∵∠ADB=∠DFE+∠FED，
∴∠ADB=∠AFC+60°+∠FED=120°，
即∠ADB的大不变化．

点评 本题主要考查旋转的性质：旋转前后图形的大小和形状不变，只是位置发生了变化．证两条线段相等，通常是证这两条线段所在的两个三角形全等，类似的题，证明方法基本不变．