Question

8．对于抛物线y=ax²+bx+c，下列命题中正确的是（　　）
①若a+b+c=0，则抛物线与x轴一定有公共点；
②若b=2a+5c，则抛物线与x轴有两个公共点；
③若b=a+c，则抛物线与x轴一定有两个公共点；
④b²-4ac＞0，则抛物线的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．

• A． 只有①②③
• B． 只有①③④
• C． 只有①②④
• D． 只有②③④

Answer 1

分析 根据△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．即可一一判断．

解答 解：①正确．∵△=b²-4ac=（-a-c）²-4ac=（a-c）²≥0，
∴抛物线与x轴一定有公共点；
②正确．∵△=b²-4ac=（2a+5c）²-4ac=4a²+16ac+25c²=4（a+2c）²+9c²（a-c）²＞0，
∴抛物线与x轴有两个公共点．
③错误．∵△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，
∴抛物线与x轴可能有两个公共点也可能有一个公共点．
④正确．∵b²-4ac＞0，∴抛物线的图象与坐标轴的公共点的个数是3个或2个（经过原点时）．
故选C．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与系数关系，考查学生学生对抛物线及根的判别式应用知识点的掌握．此题主要利用了二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，灵活应用根的判别式是解题的关键．