Question

4．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，且线段OA，OB（OB＜OA）的长是方程x²-7x+12=0的两个根，过线段AB的中点C作CD⊥AB交y轴于点D．
（1）求OA，OB的长；
（2）求直线DC的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以A，B，D，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求出方程x²-7x+12=0的两个根，即可求出OA，OB的长各是多少．
（2）首先求出A、B两点的坐标，进而求出线段AB的中点C的坐标；然后根据CD⊥AB，求出CD所在的直线的斜率；最后应用点斜式，求出直线DC的解析式即可．
（3）在坐标平面内存在点M，使以A，B，D，M为顶点的四边形是平行四边形．根据题意，分三种情况讨论：①点M在第四象限时；②点M在第二象限时；③点M在第一象限时；根据平行四边形的性质，求出点M的坐标各是多少即可．

解答 解：（1）由x²-7x+12=0，可得
x₁=4，x₂=3，
∵线段OA，OB（OB＜OA）的长是方程x²-7x+12=0的两个根，
∴OA=4，OB=3．

（2）∵OA=4，点A在x轴的正半轴上，
∴点A的坐标是（4，0），
∵OB=3，点B在y轴的正半轴上，
∴点B的坐标是（0，3），
∴线段AB的中点C的坐标是（2，$\frac{3}{2}$），
∵AB所在的直线的斜率是：$\frac{3-0}{0-4}$=-$\frac{3}{4}$，且CD⊥AB，
∴CD所在的直线的斜率是$\frac{4}{3}$，
∴直线DC的解析式是：
y-$\frac{3}{2}$=$\frac{4}{3}$（x-2），
即直线DC的解析式是8x-6y-7=0．

（3）在坐标平面内存在点M，使以A，B，D，M为顶点的四边形是平行四边形．
∵直线DC的解析式是8x-6y-7=0，CD交y轴于点D，
∴点D的坐标是（0，-$\frac{7}{6}$）．
①如图1，AD、BM交于点E，，
∵AM∥BD，
∴点M的横坐标是4，不妨设点M的坐标是（4，b），
∵四边形ABDM是平行四边形，
∴点E既是AD，又是BM的中点，
∵点A的坐标是（4，0），点D的坐标是（0，-$\frac{7}{6}$），
∴点E的坐标是（2，-$\frac{7}{12}$），
又∵点E是BM的中点，
∴3+b=2×（-$\frac{7}{12}$）=-$\frac{7}{6}$，
解得b=-$\frac{25}{6}$，
∴点M的坐标是（4，-$\frac{25}{6}$）．

②如图2，BD、AM交于点F，，
∵四边形ABMD是平行四边形，
∴点F既是BD，又是AM的中点，
设点M的坐标是（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+4}{2}=0}\\{\frac{b+0}{2}=\frac{3-\frac{7}{6}}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=\frac{11}{6}}\end{array}\right.$
∴点M的坐标是（-4，$\frac{11}{6}$）．

③如图3，AB、DM交于点C，，
∵四边形AMBD是平行四边形，
∴点C既是AB，又是DM的中点，
设点M的坐标是（c，d），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4+0}{2}=\frac{c+0}{2}}\\{\frac{0+3}{2}=\frac{d-\frac{7}{6}}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{d=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$
∴点M的坐标是（4，$\frac{25}{6}$）．
综上，可得
在坐标平面内存在点M，使以A，B，D，M为顶点的四边形是平行四边形，
点M的坐标是（4，-$\frac{25}{6}$），（-4，$\frac{11}{6}$）或（4，$\frac{25}{6}$）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了平行四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）此题还考查了直线的解析式的求法，要熟练掌握．