Question

15．如图，AB为⊙O的直径，CE是⊙O的切线，且AE⊥CE，垂足为E，BC的延长线交AE的延长线于点D．
（1）求证：∠DAC=∠BAC；
（2）若CE=2DE，AD=10，AC=4$\sqrt{5}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，推出OC⊥DC，求出AD∥OC，得出∠DAC=∠BAC=∠OCA，即可得出答案；
（2）由AE⊥CE，得到∠AEC=90°，根据勾股定理得到AC²=AE²+EC²，由于AD=AE+DE=10，求得AE=10-DE，CE=2DE，AC=4$\sqrt{5}$于是得到结果．

解答 （1）证明：连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠BAC；

（2）解：∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
∴AC²=AE²+EC²，
∵AD=AE+DE=10，
∴AE=10-DE，
∵CE=2DE，AC=4$\sqrt{5}$，
∴（4$\sqrt{5}$）²=（2DE）²+（10-DE）²，
∴DE=2．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．