Question

已知二次函数y=-9x²-6ax-a²+2a；
（1）当此抛物线经过原点，且对称轴在y轴左侧．
①求此二次函数关系式；
②设此抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P，O为坐标原点．现有一直线l：x=m随着m的变化从点A向点O平行移动（与点O不重合），在运动过程中，直线l与抛物线交于点Q，求△OPQ的面积S关于m的函数关系式；
（2）若二次函数在时有最大值-4，求a的值．

Answer 1

解：（1）①∵y=-9x²-6ax-a²+2a经过原点，
∴0=-a²+2a，
解得：a₁=0，a₂=2，
又∵抛物线的对称轴为x=-，且对称轴在y轴左侧，
∴a=2，
∴y=-9x²-12x．
②当时，QM=-9m²-12m，OM=-m，OF=，PF=4，
S_△OPQ=S_梯形QMFP+S_△OPF-S_△OQM=3m²+2m；
当≤m＜0时，QN=-9m²-12m，FN=+m，PF=4，
S_△OPQ'=S_梯形PFNQ'+S_△ONQ'-S_△OPF=-3m²-2m；

（2）对称轴，
①当时，则-1≤a≤1，y_最大=2a=-4，a=-2，不成立；
②当时，则a≥1，当时，y随x的增大而减小，
当，y_最大=-a²+4a-1=-4，，而舍去；
③当时，则a≤-1，当时，y随x的增大而增大，
当，y最大=-a²-1=-4，，而舍去
所以或
分析：（1）①将（0，0）代入二次函数解析式，结合对称轴在y轴左侧可得a的值，继而得出此二次函数关系式；
②求出抛物线的对称轴，需要分两段讨论面积S关于m的函数关系式，①当时，②当≤m＜0时，分别画出图形，可表示出S关于m的函数关系式．
（2）先确定抛物线的对称轴，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别求出函数的最大值，再由二次函数在时有最大值-4，可作出取舍．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了抛物线的顶点坐标，三角形的面积，解答本题的关键是分类讨论思想及数形结合思想的运用，难度较大．