Question

7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（3，0），（3，4），动点M，N分别从O，B同时出发以每小时1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC交AC于点P，连接MP，若M，N两动点运动了x秒．
（1）设△MPA的面积为y，试求y与x的函数关系式．
（2）请你探索，当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）三角形APM以AM为底，根据OA-OM表示出AM，高为P的纵坐标，利用三角形的面积公式列出y与x的函数关系式；
（2）分三种情况讨论如图2，如图3，如图4，分别当PA=PM，AP=AM，MP=MA时，由等腰三角形的性质求出其值即可．

解答 解：（1）延长NP，交OA于点E，可得出PE⊥OA，

∵BN=x，BC=4，
∴CN=BC-BN=4-x，
∵∠CNP=∠CBA=90°，∠NCP=∠BCA，
∴△CNP∽△CBA，
∴$\frac{CN}{CB}=\frac{NP}{AB}$，即$\frac{4-x}{4}=\frac{NP}{3}$，
∴NP=$\frac{3}{4}$（4-x）=3-$\frac{3}{4}x$，
∴PE=NE-NP=3-（3-$\frac{3}{4}$x）=$\frac{3}{4}$x，
在△MPA中，MA=4-x，MA上的高PE=$\frac{3}{4}$x，
∴y=S_△MPA=$\frac{1}{2}$（4-x）•$\frac{3}{4}$x；
所以y与x的函数关系式y=$\frac{3}{8}x（4-x）$；
（2）延长NP交OA于点E，
∵NP⊥BC，
∴NP⊥OA．
如图2，当PM=PA时，
∴AE=ME=NP．
∵OM=NP，
∴OM=ME=AE，
∴OM=$\frac{1}{3}$OA，
∴OM=$\frac{4}{3}$，
∴t=$\frac{4}{3}$÷1=$\frac{4}{3}$秒；
如图3，当AP=AM时，
∴PE=$\frac{3}{4}$x，
在Rt△APE中，由勾股定理得：
PA=$\frac{5}{4}x$，
AM=4-x，
∴$\frac{5}{4}x$=4-x，
解得：x=$\frac{16}{9}$；
如图4，当PM=AM时，
PE=$\frac{3}{4}x$，OE=4-x，OM=x，AM=4-x，
∴ME=2x-4，在Rt△PEM中，由勾股定理，得
PM²=（2x-4）²+（$\frac{3}{4}x$）²，
∴（2x-4）²+（$\frac{3}{4}x$）²=（4-x）²，
解得：x₁=0（舍去），x₂=$\frac{128}{57}$，
综上所述：当x=$\frac{4}{3}$，$\frac{16}{9}$或$\frac{128}{57}$时，△MPA为等腰三角形．

点评 此题考查了四边形综合题，考查了矩形的性质的运用，路程=速度×时间的关系的运用，勾股定理的运用，分类讨论思想的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程求解是关键．