Question

18．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作圆O交AC边于点D，E是边BC的中点，连结OC交DE于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若OF=CF，
①连接OE、OD，求证：四边形OECD是平行四边形；
②求$\frac{AO}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）要证明直线DE是⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．
（2）①作OH⊥AC于点H，首先证明△DCF≌△EOF（AAS），进而得出DC=OE=AD，即可得出四边形OECD是平行四边形；
②分别表示出OH，AC之间的关系以及AO与HO的关系，即可得到$\frac{AO}{AC}$的值．

解答 （1）证明：连接OD、OE、BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∵E点是BC的中点，
∴DE=CE=BE．
∵在△ODE和△OBE中$\left\{\begin{array}{l}{DO=BO}\\{EO=EO}\\{DE=EB}\end{array}\right.$
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵OD是圆的半径，
∴直线DE是⊙O的切线．

（2）①证明：作OH⊥AC于点H，
∵OA=OB，
∴OE∥AC，且OE=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF；
∵在△DCF和△EOF中$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠OEF}\\{∠DCF=∠EOF}\\{CF=FO}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△EOF（AAS），
∴DC=OE=AD，
∴四边形CEOD为平行四边形；

②解：∵四边形CEOD为平行四边形，
∴CE=OD=OA=$\frac{1}{2}$AB，
∴BA=BC，
∴∠A=45°，
∴AO=$\sqrt{2}$OH，
∵OH⊥AD，
∴OH=AH=DH，
∴AC=4OH，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}HO}{4HO}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定方法及切线的判定和平行四边形的判定与性质等知识，根据题意得出∠A=45°以及4AH=AC是解题关键．