Question

6．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）当y的值大于0时，求x的取值范围；
（3）分别求出△BCM与△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把（0，-3）代入求出a即可得到抛物线解析式，再配成顶点式得到M点坐标；
（2）观察函数图象，写出抛物线在x轴上方部分所对应的自变量的范围即可；
（3）根据三角形面积公式计算△ABC的面积，利用S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD-S_△BOC计算△BCM的面积．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线过点（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点M（1，-4）；
（2）x＜-1或x＞3；
（3）如图，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，
S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD-S_△BOC=$\frac{1}{2}$×（3+4）×1+$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×3×3=3
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了待定系数法求抛物线解析式和三角形面积公式．