Question

5．如图，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，AC=8，tanB=$\frac{4}{3}$，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为点D，射线PD交射线BC于点E，点Q是线段BE的中点．
（1）当点E在BC的延长线上时，设PA=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）以点Q为圆心，QB为半径的⊙Q和⊙P相切时，求⊙P的半径；
（3）射线PQ与⊙P相交于点M，联结PC、MC，当△PMC是等腰三角形时，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）过点P作PH⊥AD，垂足为点H，利用已知条件以及勾股定理可分别得到PH，AH，AD，CD的长，再由PH∥BE，可得$\frac{PH}{CE}=\frac{DH}{CD}$，所以$\frac{\frac{3x}{5}}{y}=\frac{\frac{4x}{5}}{8-\frac{8x}{5}}$，进而可求出y关于x的函数关系式；
（2）首先利用已知条件得到BQ，PQ的长，再分两种情况：①当⊙Q和⊙P外切时，②当⊙Q和⊙P内切时，分别讨论求出⊙P的半径即可；
（3）当△PMC是等腰三角形，存在以下几种情况：①当MP=MC=x时，②当CP=CM时，③当PM=PC=x时，分别讨论求出符合题意的x值即可得到AP的长．

解答 解：（1）过点P作PH⊥AD，垂足为点H，
∵∠ACB=90°，tanB=$\frac{4}{3}$，
∴sinA=$\frac{3}{5}$，
∵PA=x，
∴PH=$\frac{3}{5}$x，
∵∠PHA=90°，
∴PH²+AH²=PA²，
∴AH=$\frac{4}{5}$x．
∵在⊙P中，PH⊥弦AD，
∴DH=AH=$\frac{4}{5}$x，
∴AD=$\frac{8}{5}$x，
又∵AC=8，
∴CD=8-$\frac{8}{5}$x，
∵∠PHA=∠BCA=90°，
∴PH∥BE，
∴$\frac{PH}{CE}=\frac{DH}{CD}$，
∴$\frac{\frac{3x}{5}}{y}=\frac{\frac{4x}{5}}{8-\frac{8x}{5}}$，
∴y=6-$\frac{6}{5}$x（0＜x＜5）；
（2）∵PA=PD，PH⊥AD，
∴∠1=∠2，
∵PH∥BE，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∴PB=PE，
∵Q是BE的中点，
∴PQ⊥BE，
∴tanB=$\frac{PQ}{BQ}$=$\frac{4}{3}$，
∴cosB=$\frac{BQ}{BP}=\frac{3}{5}$，
∵PA=x，
∴PB=10-x，
∴BQ=6-$\frac{3}{5}$x，PQ=8-$\frac{4}{5}$x，
①当⊙Q和⊙P外切时：PQ=AP+BQ
∴8-$\frac{4}{5}$x=x+6-$\frac{3}{5}$x，
∴x=$\frac{5}{3}$；
②当⊙Q和⊙P内切时，此时⊙P的半径大于⊙Q的半径，则PQ=AP-BQ，
∴8-$\frac{4}{5}$x=x-（6-$\frac{3}{5}$x），
∴x=$\frac{35}{6}$，
∴当⊙Q和⊙P相切时，⊙P的半径为$\frac{5}{3}$或$\frac{35}{6}$．
（3）当△PMC是等腰三角形，存在以下几种情况：
①当MP=MC=x时，
∵QC=6-（6-$\frac{3}{5}$x）=$\frac{3}{5}$x，
∴MQ=$\frac{4}{5}$x，
若M在线段PQ上时，PM+MQ=PQ，
∴x+$\frac{4}{5}$x=8-$\frac{4}{5}$x，
∴x=$\frac{40}{13}$；
若M在线段PQ的延长线上时，PM-MQ=PQ，
∴x-$\frac{4}{5}$x=8-$\frac{4}{5}$x，
∴x=8；
②当CP=CM时，
∵CP=CM，CQ⊥PM，
∴PQ=QM=$\frac{1}{2}$PM=$\frac{1}{2}$x，
∴x-$\frac{4}{5}$x=$\frac{1}{2}$x，
∴x=$\frac{80}{13}$，
③当PM=PC=x时，
∵AP=x，
∴PA=PC，
又∵PH⊥AC，
∴AH=CH，
∵PH∥BE，
∴$\frac{AP}{BP}=\frac{AH}{CH}=1$，
∴$\frac{x}{10-x}=1$，
∴x=5．
综上所述：当△PMC是等腰三角形时，AP的长为$\frac{40}{13}$或$\frac{80}{13}$或5或8．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握两圆相切的性质和三角形相似的判定与性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算；能运用分类讨论的思想解题是答题关键，题目的综合性很强，牵扯到的知识点较多，对学生的综合解题能力要求很高．