Question

9．如图，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为45°，在C、B之间选择一点D（C、D、B三点共线），测得旗杆顶部A的仰角为75°，且CD=8m
（1）求点D到CA的距离；
（2）求旗杆AB的高．
（注：结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）作DE⊥AC于点E，根据sinC=$\frac{DE}{CD}$即可得DE；
（2）由∠C=45°可得CE，由tan∠EAD=$\frac{DE}{AE}$可得AE，即可得AC的长，再在Rt△ABC中，根据sinC=$\frac{AB}{AC}$即可得AB的长．

解答 解：（1）如图，作DE⊥AC于点E，

再Rt△CDE中，sinC=$\frac{DE}{CD}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{DE}{8}$，
∴DE=4$\sqrt{2}$，
答：点D到CA的距离为4$\sqrt{2}$；

（2）在Rt△CDE中，∠C=45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CE=DE=4$\sqrt{2}$，
∵∠ADB=75°，∠C=45°，
∴∠EAD=∠ADB-∠C=30°，
∴在Rt△ADE中，tan∠EAD=$\frac{DE}{AE}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{AE}$，
∴AE=4$\sqrt{6}$，
∴AC=AE+CE=4$\sqrt{6}$+4$\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，sinC=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{AB}{4\sqrt{6}+4\sqrt{2}}$，
∴AB=4+4$\sqrt{3}$，
答：旗杆AB的高为（4+4$\sqrt{3}$）m．

点评 本题考查了解直角三角形，用到的知识点是仰角的定义、特殊角的三角函数值，要能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．