Question

7．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0），的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若若E是AB的中点﹒
（1）求D点的坐标；
（2）点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求BF的解析式；
（3）若点P（m，3m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＞0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M，若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是$\frac{1}{2}$，设Q点的纵坐标为n，求n²-2n+9的值．

Answer 1

分析 （1）先求出点E的坐标，求出双曲线的解析式，再求出CD=1，即可得出点D的坐标；
（2）分两种情况：①△FBC和△DEB相似，当BD和BC是对应边时，$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{CF}$，求出CF，得出F的坐标，用待定系数法即可求出直线BF的解析式；
②当BD与CF是对应边时，$\frac{BD}{BE}=\frac{CF}{BC}$，求出CF、OF，得出F的坐标，用待定系数法即可求出直线BF的解析式；
（3）由题意得出m（3m+6 ）=3，即m²+2m-1=0，由三角形的面积得出m•n=1，代入得出n²-2n=1，即可得出所求式子的值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=BC，AB=OC，
∵B（2，3），E为AB的中点，
∴AB=OC=3，OA=BC=2，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
∴E（2，$\frac{3}{2}$），
∴k=2×$\frac{3}{2}$=3，
∴双曲线解析式为：y=$\frac{3}{x}$；
∵点D在双曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上，
∴OC•CD=3，
∴CD=1，
∴点D的坐标为：（1，3）；
（2）∵BC=2，CD=1，
∴BD=1，
分两种情况：
①△FBC和△DEB相似，当BD和BC是对应边时，$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{CF}$，
即$\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{CF}$，
∴CF=3，
∴F（0，0），
即F与O重合，
设直线BF的解析式为：y=kx，
把点B（2，3）代入得：k=$\frac{3}{2}$，
∴直线BF的解析式为：y=$\frac{3}{2}$x；
②△FBC和△DEB相似，当BD与CF是对应边时，$\frac{BD}{BE}=\frac{CF}{BC}$，
即$\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{CF}{2}$，
∴CF=$\frac{4}{3}$，
∴OF=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴F（0，$\frac{5}{3}$），
设直线BF的解析式为：y=ax+c，
把B（2，3），F（0，$\frac{5}{3}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+c=3}\\{c=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{2}{3}$，c=$\frac{5}{3}$，
∴直线BF的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$；
综上所述：若△FBC和△DEB相似，BF的解析式为：y=$\frac{3}{2}$x，或y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$；
（3）∵点P（m，3m+6）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴m（3m+6 ）=3，
整理得：m²+2m-1=0，
∵PQ⊥x轴，
∴Q点的坐标为：（m，n）
∵△OQM的面积为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OM•QM=$\frac{1}{2}$，
∴OM•QM=1，
∵m＞0，
∴m•n=1
∴m=$\frac{1}{n}$，
代入m²+2m-1=0得：$\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{2}{n}$-1=0，
即n²-2n-1=0，
∴n²-2n=1，
∴n²-2n+9=10．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、相似三角形的性质、用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，运用相似三角形的性质求出点的坐标才能得出结果．