Question

7．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，动点P从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点Q从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．若点E在线段BC上，且BE=1cm，若动点P、Q同时出发，经过几秒钟，点A、E、P、Q组成平行四边形？

Answer 1

分析 根据t的值讨论P和Q的位置，根据平行四边形的判定定理即可求解．

解答 解：在直角△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{37}$cm．
设运动的时间是t秒．
当0＜t＜3时，P在CD上，Q在DA上，
若平行四边形是AEPQ，
则AE∥PQ且AE=PQ，而AE=PQ不可能成立；
当t=3时，P在C点，DQ=3cm，
此时，AQ≠EC，
则AE∥PQ不成立，不能构成平行四边形；
当3＜t＜7.5时，P在BC上，
则EC=BC+CD-BE-2t=15-2t，DQ=t，
当15-2t=t时，
解得：t=5，
此时四边形AEPQ是平行四边形；
当7.5＜t＜8时，P在BE上，Q在AD上，
则EP=2t-15，AQ=10-t，
则当2t-15=10-t时，
解得：t=$\frac{25}{3}$，
不合题意，则此时不能构成平行四边形；
当8＜t＜10时，P在AB上，Q在AD上，不能构成平行四边形；
当t=10时，Q与A重合，不能构成平行四边形；
当10＜t≤13时，P和Q都在AB上，此时不能构成平行四边形；
当13＜t＜16时，P在AD上，Q在AB上，不能构成平行四边形；
当t=16时，Q在B点，B在D点，不能构成平行四边形．
综上所述：当t=5时，可以构成平行四边形AEPQ．

点评 本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定方法，正确对t的范围进行讨论是解决问题的关键．