Question

17．直线EF、GH之间有一个直角三角形ABC，其中∠BAC=90°，∠ABC=α．
（1）如图1，点A在直线EF上，B、C在直线GH上，若∠α=60°，∠FAC=30°．求证：EF∥GH；
（2）将三角形ABC如图2放置，直线EF∥GH，点C、B分别在直线EF、GH上，且BC平分∠ABH，直线CD平分∠FCA交直线GH于D．在α取不同数值时，∠BCD的大小是否发生变化？若不变求其值，若变化指出其变化范围．

Answer 1

分析 （1）求出∠EAB，推出∠EAB=∠ABC，根据平行线的判定推出即可；
（2）求出AM∥EF∥GH，根据平行线的性质得出∠FCA+∠CAM=180°，∠MAB+∠ABH=180°，∠CBH=∠ECB，求出∠FCA+∠ABH=270°，求出∠FCD+∠ECB=135°，根据三角形内角和定理求出即可．

解答 （1）证明：∵∠EAB=180°-∠BAC-∠FAC，∠BAC=90°，∠FAC=30°，
∴∠EAB=60°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠EAB=∠ABC，
∴EF∥GH；                                

（2）解：不发生变化，
理由是：经过点A作AM∥GH，

又∵EF∥GH，
∴AM∥EF∥GH，
∴∠FCA+∠CAM=180°，∠MAB+∠ABH=180°，∠CBH=∠ECB，
又∵∠CAM+∠MAB=∠BAC=90°，
∴∠FCA+∠ABH=270°，
又∵BC平分∠ABH，CD平分∠FCA，
∴∠FCD+∠CBH=135°，
又∵∠CBH=∠ECB，即∠FCD+∠ECB=135°，
∴∠BCD=180°-（∠FCD+∠ECB）=45°．

点评 本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，难度适中．