Question

8．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）①证明△ADC≌△CEB；
②图1中线段DE、AD、BE具有怎样的数量关系？并证明你的结论．
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请说明DE=AD-BE的理由；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE又具有怎样的等量关系？（第三问只写结论，不写证明过程）

Answer 1

分析 （1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案
（3）根据例题中的线段的位置即可直接求得AD、DE、BE的关系，证明△ACD≌△CBE即可证得结论．

解答 解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，①
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠BEC}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．
（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠ADC=∠BEC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
（3）关系为：AD=DE+BE．
理由是：∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠ECB=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠ECB．
∠CDA=∠CEB=90°
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠CEB}\\{∠CAD=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE．
∴CD=BE，AD=EC．
又∵EC=DE+CD，
∴AD=DE+BE．

点评 此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．