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【题目】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BDBCF,连接DFGDF中点,连接EGCG

1)求证:EG=CG

2)将图△BEFB点逆时针旋转45°,如图所示,取DF中点G,连接EGCG

问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

3)将图△BEFB点旋转任意角度,如图所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).

【答案】详见解析.

【解析】试题分析:(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG

2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MN⊥ADM,与EF的延长线交于N点;再证明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG

3)结论依然成立.还知道EG⊥CG

1)证明:四边形ABCD是正方形,

∴∠DCF=90°

Rt△FCD中,

∵GDF的中点,

∴CG=FD

同理,在Rt△DEF中,

EG=FD

∴CG=EG

2)解:(1)中结论仍然成立,即EG=CG

证法一:连接AG,过G点作MN⊥ADM,与EF的延长线交于N点.

△DAG△DCG中,

∵AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG

∴△DAG≌△DCGSAS),

∴AG=CG

△DMG△FNG中,

∵∠DGM=∠FGNFG=DG∠MDG=∠NFG

∴△DMG≌△FNGASA),

∴MG=NG

∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°

四边形AENM是矩形,

在矩形AENM中,AM=EN

△AMG△ENG中,

∵AM=EN∠AMG=∠ENGMG=NG

∴△AMG≌△ENGSAS),

∴AG=EG

∴EG=CG

证法二:延长CGM,使MG=CG

连接MFMEEC

△DCG△FMG中,

∵FG=DG∠MGF=∠CGDMG=CG

∴△DCG≌△FMG

∴MF=CD∠FMG=∠DCG

∴MF∥CD∥AB

∴EF⊥MF

Rt△MFERt△CBE中,

∵MF=CB∠MFE=∠EBCEF=BE

∴△MFE≌△CBE

∴∠MEF=∠CEB

∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°

∴△MEC为直角三角形.

∵MG=CG

∴EG=MC

∴EG=CG

3)解:(1)中的结论仍然成立.理由如下:

FCD的平行线并延长CG交于M点,连接EMEC,过FFN垂直于ABN

由于GFD中点,易证△CDG≌△MFG,得到CD=FM

又因为BE=EF,易证∠EFM=∠EBC,则△EFM≌△EBC∠FEM=∠BECEM=EC

∵∠FEC+∠BEC=90°∴∠FEC+∠FEM=90°,即∠MEC=90°

∴△MEC是等腰直角三角形,

∵GCM中点,

∴EG=CGEG⊥CG

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