【题目】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.
问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
【答案】详见解析.
【解析】试题分析:(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG.
(2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点;再证明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG.
(3)结论依然成立.还知道EG⊥CG.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DCF=90°,
在Rt△FCD中,
∵G为DF的中点,
∴CG=FD,
同理,在Rt△DEF中,
EG=FD,
∴CG=EG.
(2)解:(1)中结论仍然成立,即EG=CG.
证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
在△DAG与△DCG中,
∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴△DAG≌△DCG(SAS),
∴AG=CG;
在△DMG与△FNG中,
∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴△DMG≌△FNG(ASA),
∴MG=NG;
∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°,
∴四边形AENM是矩形,
在矩形AENM中,AM=EN,
在△AMG与△ENG中,
∵AM=EN,∠AMG=∠ENG,MG=NG,
∴△AMG≌△ENG(SAS),
∴AG=EG,
∴EG=CG.
证法二:延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC,
在△DCG与△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG≌△FMG.
∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,
∴MF∥CD∥AB,
∴EF⊥MF.
在Rt△MFE与Rt△CBE中,
∵MF=CB,∠MFE=∠EBC,EF=BE,
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB.
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,
∴△MEC为直角三角形.
∵MG=CG,
∴EG=MC,
∴EG=CG.
(3)解:(1)中的结论仍然成立.理由如下:
过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N.
由于G为FD中点,易证△CDG≌△MFG,得到CD=FM,
又因为BE=EF,易证∠EFM=∠EBC,则△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°,∴∠FEC+∠FEM=90°,即∠MEC=90°,
∴△MEC是等腰直角三角形,
∵G为CM中点,
∴EG=CG,EG⊥CG.
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【题目】如图,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE,点M、N分别是BD、GE的中点,若BC=14,CE=2,则MN的长( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
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【题目】要了解某市九年级学生的视力状况,从中抽查了500名学生的视力状况,那么样本是指( )
A. 某市所有的九年级学生
B. 被抽查的500名九年级学生
C. 某市所有的九年级学生的视力状况
D. 被抽查的500名学生的视力状况
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【题目】我市教育行政部门为了了解七年级学生每学期参加综合实践活动的情况,随机抽样调查了某校七学生一个学期参加综合实践活动的天数,并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图.
请你根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)求出扇形统计图中的a的值,并求出该校七年级学生总数;
(2)分别求出活动时问为5天、7天的学生人数,并补全频数分布直方图;
(3)求出扇形统计图中“活动时间为4天”的扇形所对圆心角的度数;
(4)如果该市共有七年级学生6000人,请你估计“活动时间不小于4天”的大约有多少人?
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【题目】中科院国家天文台10月10日宜布,位于贵州的“中国天眼”(FAST于2017年8月22日首次发现一颗脉冲星,编号为J859-0131,自转周期为1.83秒,据估算距离地球约1.6万光年.1.6万光年用科学记数法表示为( )
A. 1.6×105光年 B. 1.6×104光年 C. 0.16×105光 D. 16×104光年
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【题目】甲、乙、丙三人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均值都是8.9环,方差分别是S甲2=0.53,S乙2=0.51,S丙2=0.43,则三人中成绩最稳定的是______(填“甲”或“乙”或“丙”)
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【题目】在平面直角坐标系中,A、B、C三点的坐标分别为(﹣6,7)、(﹣3,0)、(0,3).
(1)画出△ABC,并求△ABC的面积;
(2)在△ABC中,点C经过平移后的对应点为C′(5,4),将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′, 画出平移后的△A′B′C′,并写出点A′,B′的坐标;
(3)已知点P(﹣3,m)为△ABC内一点,将点P向右平移4个单位后,再向下平移6个单位得到点Q(n,﹣3),则m= ,n= .
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【题目】某校初三7名学生中考体育测试成绩如下(单位:分):13.11.14.15.11.13.11,这组数据的
众数和中位数分别为 ( )
A. 13,14 B. 11,13 C. 13,15 D. 11,15
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