Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为$\widehat{BB′}$，图中阴影部分面积是（　　）

• A． 2π
• B． 2
• C． 4π
• D． 4

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，解直角三角形得到BC=ACtan60°=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，AB=4，根据三角形的面积公式得到S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=2$\sqrt{3}$，根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，于是得到S_△ABC=S_△AB′C′，即可得到结论．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，
∴BC=ACtan60°=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，AB=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=2$\sqrt{3}$，
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S_△ABC=S_△AB′C′，AB=AB′．
∴S_阴影=S_扇形ABB′+S_△ABC-S_△AB′C′
=$\frac{45π×{4}^{2}}{360}$
=2π．
故选：A．

点评 本题考查了扇形面积的计算、旋转的性质．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．