Question

14．（1）小明遇到下面一道题：
如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BE⊥AC于点E，且∠CDE=∠ACB．如果AB=1，求CD边的长．
小明在解题过程中发现，图1中，△CDE与△CAD相似，CD的长度等于$\sqrt{3}$，线段CD与线段BC的长度相等；
他进一步思考：如果∠ACB=α（α是锐角），其他条件不变，那么CD的长度可以表示为CD=$\frac{1}{tanα}$；（用含α的式子表示）
（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：
在Rt△OMN中，∠MON=90°，OM＜ON，OQ⊥MN于点Q，直线l经过点M，且l∥ON．请在直线l上找出点P的位置，使得∠NPQ=∠ONM．请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）

Answer 1

分析 （1）根据AD∥BC，得到∠DAC=∠ACB，又∠CDE=∠ACB，得到∠CAD=∠CDE，又∠ACD=∠DCE，得到△CDE∽△CAD，求出CD的长，得到CD=BC，根据正切求出BC的长，得到CD的长；
（2）根据CD=BC，确定点P的位置，作图即可．

解答 解：（1）∵AB=1，∠ACB=30°，
∴BC=$\sqrt{3}$，AC=2，CE=$\frac{3}{2}$，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=30°，
∵∠CDE=∠ACB，
∴∠CAD=∠CDE，
又∵∠ACD=∠DCE，
∴△CDE∽△CAD；
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CE}{CD}$，
∴CD²=AC•AE=3，则CD=$\sqrt{3}$，
∴CD=BC；
在Rt△ABC中，∠ACB=α，
∴BC=$\frac{1}{tanα}$，
∴CD=$\frac{1}{tanα}$；
（2）如图2，以点N为圆心，ON为半径作弧，交直线l于点P，则点P为符合题意的点．

点评 本题考查的是三角形相似的性质、锐角三角函数的概念以及作图的知识，掌握三角形相似的性质定理、锐角三角函数的概念是解题的关键．