Question

2．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．
（1）求证：△AED≌△CEB′；
（2）若P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，则请你证明PH•AP=PG•CP．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质知，CB′=BC=AD，∠B=∠B′=∠D=90°，∠B′EC=DEA，则由AAS得到△AED≌△CEB′；
（2）PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，则∠PGA=∠PHC=90°，根据折叠的性质和矩形的性质易证∠PAG=∠PCH，则△PGA∽△PHC，所以PH•AP=PG•CP．

解答 解：（1）△AED≌△CEB′
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，
又∵∠B′EC=∠DEA，
∴△AED≌△CEB′；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴CD∥AB
∴∠DCA=∠BAC
根据折叠的性质∠EAC=∠BAC
∴∠PAG=∠PCH，
∵PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，
∴∠PGA=∠PHC=90°，
∴△PGA∽△PHC，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PG}{PH}$
∴PH•AP=PG•CP．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质以及相似三角形的判定与性质，熟悉折叠图形的特点，熟练运用全等和相似的性质和判定是解决问题的关键．