Question

7．如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=$\sqrt{2}$-1，则∠ACD=112.5°．

Answer 1

分析 如图，连结OC．根据切线的性质得到OC⊥DC，根据线段的和得到OD=$\sqrt{2}$，根据勾股定理得到CD=1，根据等腰直角三角形的性质得到∠DOC=45°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠OCA=$\frac{1}{2}$∠DOC=22.5°，再根据角的和得到∠ACD的度数．

解答 解：如图，连结OC．
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∵BD=$\sqrt{2}$-1，OA=OB=OC=1，
∴OD=$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=1，
∴OC=CD，
∴∠DOC=45°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=$\frac{1}{2}$∠DOC=22.5°，
∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=22.5°+90°=112.5°．
故答案为：112.5．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质．本题关键是得到△OCD是等腰直角三角形．