Question

17．如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p²、q²，则梯形的面积为（p+q）²．

Answer 1

分析 过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，则EF为梯形ABCD的高，根据△COD和△AOB的面积可以求得AB、CD的值，根据AB、CD、EF的值即可计算梯形ABCD的面积，即可解题．

解答 解：∵四边形ABCD是梯形，
∴AB∥CD，
如图，过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，
则EF⊥AB，
∴△ABO∽△CDO，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{OE}{OF}=\sqrt{\frac{{S}_{△CDO}}{{S}_{△ABO}}}$=q：p，
设上下底分别为mq，mp，两个三角形对应的高分别为nq，np，
有$\frac{mp•np}{2}$=p²，得mn=2
∴S_梯形ABCD=$\frac{（mp+mq）（np+nq）}{2}$=$\frac{mn（p+q）^{2}}{2}$=（p+q）²，
故答案为：（p+q）²．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形面积的计算，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求EF的值是解题的关键．