Question

如图1，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，B点在x轴上，且∠OAB=90°，OA=AB，作AC⊥OB于C．
①求点A的坐标．
②取AB的中点E，作∠ECF=90°交AO于F，试通过计算说明EF²与OF²+EB²的大小关系．
③如图2，过点C作∠ECF=90°交AB于E，交AO于F，②中的结论是否仍成立证明你的结论．

Answer 1

解：
（1）∵△AOB是等腰直角三角形，而AC⊥OB于C，
∴OA=OC，
∵A在的图象上，
∴A（2，2）

（2）根据（1）可以得到AC=OC=2，
∴AB=2
∵E为AB的中点，∠ECF=90°交AO于F，
又∵△AOB是等腰直角三角形
∴四边形AECF是正方形，
∴F是OA的中点，
∴EF=OB=2，OF=BE=，
∴EF²⁼OF²+EB²

（3）连接AC，
∴∠ACB=∠EFC=90°
∴∠ACF=∠ECB，
∵AC=BC，∠EBC=∠CAF=45°
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF=BE，
∵OA=OB
∴OF=AE，
∴EF²=AF²+AE²=BE²+OF²．
分析：（1）根据已知条件知道△AOB是等腰直角三角形，而AC⊥OB于C，可以得到AC=OC，这样可以得到A的横，纵坐标相等，然后利用反比例函数的解析式就可以求出A的坐标了；
（2）知道AC=OC=2，也就知道OB、AB、AO的长，可以确定E的坐标，根据AB的中点E，作∠ECF=90°交AO于F可以知道F也是AO的中点，所以2EF=OB，这样可以通过计算EF²与OF²+EB²得到它们的关系；
（3）连接AC，利用已知条件证明△ACF≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和勾股定理就可以证明题目的结论．
点评：此题把正方形，等腰直角三角形放在反比例函数图象的背景中，把代数知识和几何知识紧紧结合在一起，利用几何知识紧紧代数问题．