Question

13．如图，直线l₁∥l₂，⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和点B．直线MN与l₁相交于M，与l₂相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图所示位置向右平移，下列结论：①l₁和l₂的距离为2；②MN=4$\sqrt{3}$；③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°；④当AM+BN=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$时，直线MN与⊙O相切．其中正确的序号是①③④．

Answer 1

分析 如图1，利用切线的性质得到OA⊥l₁，OB⊥l₂，再证明点A、B、O共线即可得到l₁和l₂的距离为2，则可对①进行判断；作NH⊥AM，如图1，易得四边形ABNH为矩形，则NH=AB=2，然后在Rt△MNH中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出MN，从而可对②进行判断；当直线MN与⊙O相切时，如图2，利用切线长定理得到∠1=∠2，∠3=∠4，然后根据平行线的性质和三角形内角和可计算出∠MON的度数，则可对③进行判断；过点O作OC⊥MN于C，如图2，根据梯形的面积和三角形面积公式，利用S_{四边形ABNM}=S_△OAM+S_△OMN+S_△OBN得到 $\frac{1}{2}$•1•AM+$\frac{1}{2}$•1•BN+$\frac{1}{2}$MN•OC=$\frac{1}{2}$（BN+AM）•2，则根据AM+BN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，MN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$可计算出OC=1，然后根据切线的判定定理可判断直线MN与⊙O相切，则可对④进行判断．

解答 解：如图1，∵⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和点B，
∴OA⊥l₁，OB⊥l₂，
∵l₁∥l₂，
∴点A、B、O共线，
∴l₁和l₂的距离=AB=2，故①正确；
作NH⊥AM，如图1，则四边形ABNH为矩形，
∴NH=AB=2，
在Rt△MNH中，∵∠1=60°，
∴MH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$NH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴MN=2MH=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，故②错误；
当直线MN与⊙O相切时，如图2，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵l₁∥l₂，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠MON=90°，所以③正确；
过点O作OC⊥MN于C，如图2，
∵S_{四边形ABNM}=S_△OAM+S_△OMN+S_△OBN，
∴$\frac{1}{2}$•1•AM+$\frac{1}{2}$•1•BN+$\frac{1}{2}$•MN•OC=$\frac{1}{2}$•（BN+AM）•2，
即 $\frac{1}{2}$•（AM+BN）+MN•OC=AM+BN，
∵AM+BN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，MN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OC=1，
而OC⊥MN，
∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．
故答案为①③④．

点评 本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线的：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．