Question

1．如图，在?ABCD中，已知AB=a，BC=b，∠ABC=α
（1）连接AC，当a=4，b=6，α=60°，求AC的值；
（2）α为锐角，
①连接AC，求证：AC²＜a²+b²；
②连接BD，求证：BD²＞a²+b²；
（3）连接AC，BD，求证：AC²+BD²=2a²+2b²．

Answer 1

分析 设BE=c，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC，交BC延长线于点F，
（1）先确定∠BAE=30°，继而可得AE的长度；
（2）①在Rt△ACE中，运用勾股定理可得AC²=AE²+EC²，继而可得结论；
②在Rt△BDF中，运用勾股定理可得BD²=DF²+BF²，继而可得结论；
（3）由（2）的结论，两式相加即可得出结论．

解答 解：如图：设BE=c，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC，交BC延长线于点F，
易得：AE=DF，BE=CF，
（1）在Rt△ABE中，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=2，EC=6-2=4，
由勾股定理得：AE=2$\sqrt{3}$，
∴在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{{AE}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
（2）①在Rt△ACE中，∵AC²=AE²+EC²=a²-c²+（b-c）²=a²+b²-2bc，
∴AC²＜a²+b²；
②在Rt△BDF中，∵BD²=DF²+BF²=a²-c²+（b+c）²=a²+b²+2bc，
∴BD²＞a²+b²；
（3）由（2）得：AC²=a²+b²-2bc（A），
BD²=a²+b²+2bc（B），
（A）+（B）=AC²+BD²=2a²+2b²．

点评 本题考查了平行四边形的性质及勾股定理的知识，解答本题得关键是作出辅助线，熟练掌握勾股定理的表达式．