Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为

BC

的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：作出D关于AB的对称点D′，则PC+PD的最小值就是CD′的长度，在△COD′中根据边角关系即可求解．

解答：解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．
又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为

BC

的中点，即

BD

=

BD′

，
∴∠BAD′=

1

2

∠CAB=15°．
∴∠CAD′=45°．
∴∠COD′=90°．则△COD′是等腰直角三角形．
∵OC=OD′=

1

2

AB=1，
∴CD′=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键．