Question

如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F，连结BE．

（1）如果①：求证∠AFD=∠EBC；

（2）如图②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数；

（3）若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数（只写出条件与对应的结果）

[来源:学科网ZXXK]

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴DC=CB，

在△DCE和△BCE中，              ，

∴△DCE≌△BCE（SAS），         ∴∠EDC=∠EBC，

∵DC∥AB，          ∴∠EDC=∠AFD，      ∴∠AFD=∠EBC；

（2）解：∵DE=EC，       ∴∠EDC=∠ECD，

设∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，则∠CBF=2x°，     由BE⊥AF得：2x+x=90°，     解得：x=30°，

∴∠DAB=∠CBF=60°；   

（3）分两种情况：

①如图1，当F在AB延长线上时，

∵∠EBF为钝角，

∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，

可通过三角形内角形为180°得：

90+x+x+x=180，

解得：x=30，      ∴∠EFB=30°；

②如图2，当F在线段AB上时，

∵∠EFB为钝角，

∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，

可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，

得x+2x=90，

解得：x=30，      ∴∠EFB=120°，     

 综上：∠EFB=30°或120°．

点评： 此题主要考查了四边形综合题，解题时，涉及到了菱形的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．