Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为顶点的抛物线与x轴分别相交于B，C两点，抛物线上一点A的横坐标为2，连接AB，AC，正方形DEFG的一边GF在线段BC上，点D，E在线段AB，AC上，AK⊥x轴于点K，交DE于点H，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：

x	…	﹣2	0	4	8	10	…
y	…	0	5	9	5	0	…

（1）求出这条抛物线的解析式；

（2）求正方形DEFG的边长；

（3）请问在抛物线的对称轴上是否存在点P，在x轴上是否存在点Q，使得四边形ADQP的周长最小？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解：（1）由图表可得：抛物线的顶点坐标为：（4，9），

设函数解析式为：y=a（x﹣4）²+9（a≠0），

把点（0，5）代入y=a（x﹣4）²+9，

解得：a=﹣．

∴函数解析式为：y=﹣（x﹣4）²+9；

（2）设正方形DEFG的边长为m，

∵AK⊥x轴，

∴∠AKC=90°，

∵∠DEF=∠EFG=90°，

∴四边形HEFK为矩形，

∴HK=EF=m，

∵点A在抛物线y=﹣（x﹣4）²+9上，横坐标为2，

∴y=﹣（x﹣4）²+9=8，

∴点A的坐标为：（2，8），

∴AK=8，∴AH=AK﹣HK=8﹣m，

由题意可得：B（﹣2，0），C（10，0），

∴BC=12，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=，

∴=，

∴m=﹣，

∴正方形的边长为：；

（3）存在，

理由：过顶点M作抛物线的对称轴直线l：x=4，

设点A关于直线l：x=4对称点为A′，A′点的坐标为：（6，8），

∴设AB所在直线解析式为：y=kx+b，

∴，

解得：，

∴AB所在直线解析式为：y=2x+4，

∵D在直线AB上，DG=，

∴点D的纵坐标为：，

由2x+4=，

解得：x=，

∴点D的坐标为：（，），

设点D关于x轴对称点为D′，则D′（，﹣），

连接A′D′交对称轴于点P，交x轴于点Q，连接AP，DQ，

则四边形ADQP的周长最小，

设直线A′D′的解析式为：y=k′x+b′，

∴，

解得：，

∴直线A′D′的解析式为：y=x﹣，

当x=4时，y=×4﹣=，∴P（4，），

当y=0时，x=，

∴Q点坐标为：（，0）．