Question

3．如图，A点的坐标是（0，6），AB=BO，∠ABO=120°，C在x轴上运动，在坐标平面内作点D，使AD=DC，∠ADC=120°，连结OD，则OD的长的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先判定△ABO∽△ADC，得出$\frac{AB}{AO}$=$\frac{AD}{AC}$，再根据∠BAD=∠OAC，得出△ACO∽△ADB，进而得到∠ABD=∠AOC=90°，得到当OD⊥BE时，OD最小，最后过O作OF⊥BD于F，根据∠OBF=30°，求得OF=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，即OD最小值为$\sqrt{3}$；作B关于y轴的对称点B'，则同理可得OD最小值为$\sqrt{3}$．

解答 解：如图，作直线BD，由∠DAC=∠DCA=∠BAO=∠BOA=30°，可得△ABO∽△ADC，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AO}{AC}$，即$\frac{AB}{AO}$=$\frac{AD}{AC}$，
又∵∠BAD=∠OAC，
∴△ACO∽△ADB，
∴∠ABD=∠AOC=90°，
∵当OD⊥BE时，OD最小，
过O作OF⊥BD于F，则△BOF为Rt△，
∵A点的坐标是（0，6），AB=BO，∠ABO=120°，
∴易得OB=2$\sqrt{3}$，
∵∠ABO=120°，∠ABD=90°，
∴∠OBF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
即OD最小值为$\sqrt{3}$；

如图，作B关于y轴的对称点B'，作直线DB'，则同理可得：△ACO∽△ADB'，
∴∠AB'D=∠AOC=90°，
∴当OD⊥B'E时，OD最小，
过O作OF'⊥B'D于F'，则△B'OF'为Rt△，
∵A点的坐标是（0，6），AB'=B'O，∠AB'O=120°，
∴易得OB'=2$\sqrt{3}$，
∵∠AB'O=120°，∠AB'D=90°，
∴∠OB'F'=30°，
∴OF'=$\frac{1}{2}$OB'=$\sqrt{3}$，
即OD最小值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，利用垂线段最短进行判断分析．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．