Question

15．在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，CF∥AB，P为AD上一点，连结并延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：
（1）△ABP≌△ACP；
（2）BP²=PE•PF．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质得出结论，即可判断出结论；
（2）要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相似，须根据已知与图形找条件就可．

解答 解：（1）证明：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的对称轴．
∴PC=PB，∠PCE=∠ABP．
在△ABP和△ACP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AP=AP}\\{BP=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABP和≌△ACP，
（2）∵CF∥AB，
∴∠PFC=∠ABP（两直线平行，内错角相等），
∴∠PCE=∠PFC．
又∵∠CPE=∠EPC，
∴△EPC∽△CPF．
∴（相似三角形的对应边成比例）．
∴PC²=PE•PF．
∵PC=BP
∴BP²=PE•PF．

点评 此题是相似三角形的判定和性质，主要考查了全等三角形的判定和性质，证明线段乘积式相等，常常先证比例式成立这是十分重要的方法之一，本题主要考查的是相似三角形性质的应用．