Question

13．如图，长方形OABC的顶点A、C、O都在坐标轴上，点B的坐标为（9，4），E为BC边上一点，CE=6．
（1）求点E的坐标和△ABE的周长；
（2）若P是OA上的一个动点，它以每秒1个单位长度的速度从点O出发沿射线OA运动，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
①当t为何值时，△PAE的面积等于△PCE的面积的一半；
②当t为何值时，△PAE为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根据长方形OABC中，点B的坐标为（9，4），求得CB=9，CO=4=AB，即可得出CE=6，再根据勾股定理求得AE的长，即可得到△ABE的周长；
（2）①分两种情况讨论：P在OA之间时，P在OA的延长线上时，分别根据△PAE的面积等于△PCE的面积的一半，列出关于t的方程，求得t的值即可；
②分三种情况讨论：当∠PEA=90°时，当∠PAE=90°时，∠EPA=90°时，分别求得t的值并判断是否符合题意即可．

解答 解：（1）如图，∵长方形OABC中，点B的坐标为（9，4），
∴CB=9，CO=4=AB，
又∵CE=6，
∴E（6，4），BE=3，
∵∠B=90°，
∴Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=5，
∴△ABE的周长：3+4+5=12；

（2）①∵OP=1×t=t，
∴AP=9-t，
∵△PAE的面积等于△PCE的面积的一半，
∴当P在OA之间时，
根据$\frac{1}{2}$×AP×AB=$\frac{1}{2}$×CE×CO×$\frac{1}{2}$，可得
（9-t）×4=6×4×$\frac{1}{2}$，
解得t=6；
当P在OA的延长线上时，
根据$\frac{1}{2}$×AP×AB=$\frac{1}{2}$×CE×CO×$\frac{1}{2}$，可得
（t-9）×4=6×4×$\frac{1}{2}$，
解得t=12；
综上所述，当t为6或12秒时，△PAE的面积等于△PCE的面积的一半；
  
②如图，当∠PEA=90°时，△PAE为直角三角形，过点P作PF⊥BC于F，则
CF=OP=t，EF=6-t，BF=6-t+3=9-t=AP，
由勾股定理可得，PE²+AE²=AP²，
即（PF²+EF²）+AE²=AP²，
∴4²+（6-t）²+5²=（9-t）²，
解得t=$\frac{2}{3}$；
当∠EPA=90°时，△PAE为直角三角形，EP⊥OA，
此时，PE=OC=4，
∴Rt△APE中，AP=$\sqrt{A{E}^{2}-P{E}^{2}}$=3，
∴OP=9-3=6，
∴t=6；
∵EA与AP不垂直，
∴∠PAE不可能为直角；
综上所述，当t为6或$\frac{2}{3}$秒时，△PAE为直角三角形．

点评 本题主要考查了四边形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理以及矩形的性质进行计算，解题时注意分类讨论思想的运用．在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．