【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,AF⊥BD,垂足为点E,交BC于点F.求证:AD=CF.
【答案】见解析
【解析】
作辅助线,证明∠BAG=∠C=45°,再利用同角的余角相等得∠ABG=∠CAF,证明△ABG≌△CAF(ASA),得到AG=CF,最后证明△GAE≌△DAE(ASA),等量代换即可解题.
证明:过点A作∠BAC的平分线AG,交BD于点G,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠C=45°.
∵AG平分∠BAC,
∴∠BAG=∠CAG=∠ABC=45°,
∴∠BAG=∠C.
∵AE⊥BD,
∴∠ABG+∠BAE=90°.
∵∠CAF+∠BAE=90°,
∴∠ABG=∠CAF.
在△ABG和△CAF中,,
∴△ABG≌△CAF(ASA),
∴AG=CF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABG=∠CAF,
∴∠CAF=22.5°.
∵∠CAG=45°,
∴∠GAE=∠CAG-∠CAF=45-22.5°=22.5°,
∴∠GAE=∠CAF.
∵AE⊥BD,
∴∠AEG=∠AED=90°.
在△GAE和△DAE中,,
∴△GAE≌△DAE(ASA),
∴AG=AD.
∵AG=CF,
∴AD=CF.
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【题目】在平面直角坐标系中,我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“湘一点”.
(1)求函数y=x-3的图象上所有“湘一点”的坐标;
(2)若直线y=mx+m(m为常数)与直线y=x-2的交点为“湘一点”,试求出整数m的值.
(3)若直线y=-x+b、直线y=3、直线y=x+2所围成的平面图形中(不含边界)共有6个“湘一点”,试求出常数b的取值范围.
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【题目】如图有A、B两个大小均匀的转盘,其中A转盘被分成3等份,B转盘被分成4等份,并在每一份内标上数字.小明和小红同时各转动其中一个转盘,转盘停止后(当指针指在边界线时视为无效,重转),若将A转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k,将B转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b.
(1)请用列表或画树状图的方法写出所有的可能;
(2)求一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限的概率.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,分别在AB,BC的延长线上截取点G,H,使BG=BH,延长AC交GH于点K,且AK=KG,则∠BAC的大小等于( )
A. B. C. D.
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【题目】海洋馆的门票价格规定如表:
购票人数(人) | 150人 | 51100人 | 100人以上 |
门票单价(元/人) | 60 | 55 | 50 |
某校七年级一、二两班共102人去游公园,其中一班人数较多,经计算,如果两班都以班为单位分别购买与实际人数相同的票,则一共应付5850元。
请根据以上信息解答下列问题:
①两班各有多少学生?
②如果两班作为一个团体购票,可以节省多少钱?
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【题目】(3分)以下四种沿AB折叠的方法中,不一定能判定纸带两条边线a,b互相平行的是( )
A. 如图1,展开后测得∠1=∠2
B. 如图2,展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C. 如图3,测得∠1=∠2
D. 如图4,展开后再沿CD折叠,两条折痕的交点为O,测得OA=OB,OC=OD
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【题目】端午节,在大明湖举行第七届会民健身运动会龙舟比赛中,甲、乙两队在500米的赛道上,所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示,下列说法,其中正确的有( )
①乙队比甲队提前0.25min到达终点;
②0.5min后,乙队比甲队每分钟快40m;
③当乙队划行110m时,此时落后甲队15m;
④自1.5min开始,甲队若要与乙队同时到达终点,甲队的速度需要提高到260m/min.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:AB=CD;
(2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度数.
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