Question

11．如图，已知等边△ABC的边长为2，D为BC上一点，且∠DAC=45°，则△ABD的面积为2$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 过A作AF⊥BC于F，过D作DE⊥AC于E，求得S_△ABC=$\frac{1}{2}×$2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，解直角三角形得到DE=3-$\sqrt{3}$，求得S_△ADC=$\frac{1}{2}×$2×（3-$\sqrt{3}$）=3-$\sqrt{3}$，于是得到结论．

解答 解：过A作AF⊥BC于F，过D作DE⊥AC于E，
∵△ABC 是等边三角形，AB=2，
∴AF=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×$2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵∠DAC=45°，
∴AE=DE，
∵∠C=60°，
∴CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DE，
∴AE+CE=DE+$\frac{\sqrt{3}}{3}$DE=2，
∴DE=3-$\sqrt{3}$，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}×$2×（3-$\sqrt{3}$）=3-$\sqrt{3}$，
∴S_△ABD=S_△ABC△ADC=2$\sqrt{3}$-3，
故答案为：2$\sqrt{3}$-3．

点评 本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．