Question

11．抛物线y=-x²+2x+3交x轴于点A，B，交y轴于点C，点P为抛物线第一象限内的点，直线BP交直线AC于点Q，若点P为BQ的中点，求点P的坐标．

Answer 1

分析 由抛物线的解析式求出A（-1，0），B（3，0），C（0，3），利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=3x+3，由直线AC过点Q，可设Q点的坐标为（x，3x+3），再根据点P为BQ的中点，利用中点坐标公式得出P（$\frac{x+3}{2}$，$\frac{3x+3}{2}$），然后将P点坐标代入y=-x²+2x+3，求出x的值，进而求出点P的坐标．

解答 解：∵y=-x²+2x+3，
∴y=0时，-x²+2x+3=0，
解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵x=0时，y=3，
∴C（0，3）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=3x+3，
∴可设Q点的坐标为（x，3x+3）．
∵点P为BQ的中点，B（3，0），
∴P（$\frac{x+3}{2}$，$\frac{3x+3}{2}$）．
∵点P为抛物线y=-x²+2x+3第一象限内的点，
∴$\frac{3x+3}{2}$=-（$\frac{x+3}{2}$）²+2×（$\frac{x+3}{2}$）+3，
整理，得x²+8x-9=0，
解得x₁=1，x₂=-9（不合题意舍去），
当x=1时，点P的坐标是（2，3）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求直线的解析式，线段中点坐标公式等知识，综合性较强，难度适中．设Q点的坐标为（x，3x+3），用含x的代数式表示出P点坐标是解题的关键．