Question

在四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，且MN=AM+CN，
（1）如图1，若四边形ABCD为正方形，通过测量、推理、猜想：∠MDN=

 

°；
（2）如图2，若AB∥CD，AD=DC，∠A=∠B，探究：∠MDN与∠ADC之间有怎样的数量关系？请说明理由：

 

；
（3）如图3，若AB与CD不平行，AD=DC，要使得（2）中的结论仍然成立，∠A与∠C之间应满足什么条件？（直接回答，不需证明）

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）延长BC至G使CG=AM，连接DG，利用△DAM≌△DCG得出DM=DG，再次利用△DMN≌△DGN得出∠MDN=∠GDN，运用∠MDN=

1

2

∠ADC．即可求出∠MDN的度数．
（2）延长BA至E，使AE=CN，运用△ADE≌△CDN得出DE=DN，推出△EDM≌△NDM利用角的关系得出结论．
（3）延长BC至E，使CE=AM，连接DE，在证明△DAM≌△DEC时少了一个条件，我们给它一个条件，再次运用△DMN≌△DEN得出的结论是∠MDN=

1

2

∠ADC，所以加的这个条件正是∠A与∠C应满足的条件，求出它们间的条件即可．

解答：解：（1）测量，猜想：∠MDN=45°，
证明：如图1，延长BC至G使CG=AM，连接DG，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠DAB=∠DCB=∠DCG=90°
∵AM=CG，
在△DAM和△DCG中，

AD=CD ∠DAB=∠DCG AM=CG

∴△DAM≌△DCG（SAS）
∴∠ADM=∠CDG，DM=DG，
∵MN=AM+CN，
∴MN=NG，
在△DMN和△DGN中，

MN=NG DM=DG DN=DN

，
∴△DMN≌△DGN（SSS），
∴∠MDN=∠GDN，
∴∠MDN=

1

2

∠ADC．
∴∠MDN=∠GDN=

1

2

×90°=45°
故答案为：45．
（2）∠MDN=

1

2

∠ADN，
证明：如图2，延长BA至E，使AE=CN，

∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠DAB=∠B，
∴∠DAB+∠C=180°，
∵∠DAE+∠DAB=180°，
∴∠DAE=∠C，
∵AD=DC，
在△ADE和△CDN中，

AE=CN ∠DAE=∠C AD=DC

∴△ADE≌△CDN（SAS）
∴DE=DN，∠ADE=∠CDN，
∵MN=AM+CN，
∴MN=AM+AE=EM，
又∵DM为公共边，
在△EDM和△NDM中，

DE=DN MN=EM DM=DM

∴△EDM≌△NDM（SSS）
∴∠MDE=∠MDN，
∴∠MDN=∠CDN+∠ADM，
∴∠MDN=

1

2

∠ADC，
故答案为：∠MDN=

1

2

∠ADC．
（3）如图3，延长BC至E，使CE=AM，连接DE，

∵AD=DC，AM=CE，
现在要使△DAM≌△DEC少一个条件，假设∠A=∠ECD，
则有△DAM≌△DEC（SAS）
∴DE=DM，∠ADM=∠CDE，
∵MN=AM+CN=NE，DN为公共边，
在△DMN和△DEN中，

DE=DM MN=NE DN=DN

∴△DMN≌△DEN（SSS）
∴∠MDN=∠EDN，
∴∠MDN=

1

2

∠ADC．
结论成立只需一个条件∠A=∠ECD，即∠A+∠DCN=180°，就是原图的∠A+∠C=180°．

点评：本题主要考查了四边形综合题，本题要正确画出辅助线，并多次运用三角形全等的判定及性质，找出全等三角形对应的角与线段是解题的关键．