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【题目】如图,在边长为4的菱形ABCD中,BD=4,E、F分别是AD、CD上的动点(包含端点),且AE+CF=4,连接BE、EF、FB.

(1)试探究BEBF的数量关系,并证明你的结论;

(2)求EF的最大值与最小值.

【答案】(1)见解析(2)EF的最大值为4,最小值为

【解析】试题分析:(1)AE+CF=4,DF+CF=4,则DF=AE,根据题目已知条件可通过角边角证明,从而证明BE=BF(2)可先证明BEF为等边三角形。那么BE=BF=EF,EAD上运动,当BE AD时,BE最短,当EAD重合时最长。

解:(1)BE=BF,证明如下:

∵四边形ABCD是边长为4的菱形,BD=4,

∴△ABD、CBD都是边长为4的正三角形,

AE+CF=4,

CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE,

又∵BD=BC=4,BDE=C=60°,

在△BDE和△BCF中,

DE=DF,∠BDE=C,BD=BC,

∴△BDE≌△BCF(SAS),

BE=BF;

(2)∵△BDE≌△BCF,

∴∠EBD=FBC,

∴∠EBD+∠DBF=FBC+∠DBF,

∴∠EBF=DBC=60°,

又∵BE=BF,

∴△BEF是正三角形,

EF=BE=BF,

当动点E运动到点D或点A时,BE的最大值为4,

BEAD,即EAD的中点时,BE的最小值为

EF=BE,

EF的最大值为4,最小值为

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