【题目】如图,在边长为4的菱形ABCD中,BD=4,E、F分别是AD、CD上的动点(包含端点),且AE+CF=4,连接BE、EF、FB.
(1)试探究BE与BF的数量关系,并证明你的结论;
(2)求EF的最大值与最小值.
【答案】(1)见解析(2)EF的最大值为4,最小值为.
【解析】试题分析:(1)AE+CF=4,DF+CF=4,则DF=AE,根据题目已知条件可通过角边角证明,从而证明BE=BF(2)可先证明BEF为等边三角形。那么BE=BF=EF,点E在AD上运动,当BE AD时,BE最短,当E与A或D重合时最长。
解:(1)BE=BF,证明如下:
∵四边形ABCD是边长为4的菱形,BD=4,
∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形,
∵AE+CF=4,
∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE,
又∵BD=BC=4,∠BDE=∠C=60°,
在△BDE和△BCF中,
DE=DF,∠BDE=∠C,BD=BC,
∴△BDE≌△BCF(SAS),
∴BE=BF;
(2)∵△BDE≌△BCF,
∴∠EBD=∠FBC,
∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF,
∴∠EBF=∠DBC=60°,
又∵BE=BF,
∴△BEF是正三角形,
∴EF=BE=BF,
当动点E运动到点D或点A时,BE的最大值为4,
当BE⊥AD,即E为AD的中点时,BE的最小值为,
∵EF=BE,
∴EF的最大值为4,最小值为.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于两点A(1,0),B(3,0),与y轴相交于点C(0,3).
(1)求抛物线的函数关系式.
(2)将y=ax2+bx+c化成y=a(x﹣m)2+k的形式(请直接写出答案).
(3)若点D(3.5,m)是抛物线y=ax2+bx+c上的一点,请求出m的值,并求出此时△ABD的面积.
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【题目】解方程:3x-3=2x-3.王强同学是这样解的:方程两边都加上3,得3x=2x,方程两边都除以x,得3=2,所以此方程无解.王强同学的解答是否正确?说说你的看法.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线经过第一、二、四象限,与y轴交于点B,点A(2,m)在这条直线上,连结AO,△AOB的面积等于2.
(1)求b的值;
(2)如果反比例函数(k是常量,k≠0)的图象经过点A,求这个反比例函数的解析式.
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【题目】如图,AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.
(1)求证:AD=AE;
(2)连接OA,BC,试判断直线OA,BC的关系并说明理由.
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【题目】设a、b、c是△ABC的三条边,关于x的方程x2+2x+2c-a=0有两个相等的实数根,方程3cx+2b=2a的根为0.
(1)求证:△ABC为等边三角形;
(2)若a,b为方程x2+mx-3m=0的两根,求m的值.
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