Question

11．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，连接BE
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．

Answer 1

分析 （1）由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°，再由∠A=45°，利用直角三角形两锐角互余的性质得到∠ABE=45°，由AB=AC，由顶角的性质求出底角∠ABC的度数，由∠ABC-∠ABE即可求出∠EBC的度数．
（2）连接AD，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AD⊥BC，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论．

解答 解：∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-45°=45°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=22.5°．
（2）连接AD，
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC．

点评 此题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．