Question

2．如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD与Q，PQ=4，PE=1．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质可知AB=AC，∠BAC=∠C=60°．依据SAS可证明△ABE≌△CAD，依据全等三角形的性质可得到∠ABE=∠CAD，最后结合三角形的外角的性质求解即可；
（2）先求得∠PBQ=30°，然后依据含30度直角三角形的性质可求得BP=8，故此可求得BE=9，最后依据全等三角形的性质可得到AD=BE=9

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．
∵在△ABE和△CAD中$\left\{\begin{array}{l}{DC=AE}\\{∠C=∠BAE}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD．
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ是△ABP的一个外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．
（2）解：∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°．
又由（1）知，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°．
∴BP=2PQ=2×4=8．
∴BE=BP+PE=8+1=9．
又∵由（1）知△ABE≌△CAD，
∴AD=BE=9．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理、等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质是解题的关键．