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【题目】如图,抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于AB两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.

1)求ABC的坐标;

2)设点H是第二象限内抛物线上的一点,且HAB的面积是6,求点的坐标;

3)点M为线段AB上一点(点M不与点AB重合),过点Mx轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点PPQAB交抛物线于点Q,过点QQNx轴于点N.若点P在点Q左边,当矩形PQMN的周长最大时,求AEM的面积.

【答案】1A﹣30),B10C032H﹣23);3

【解析】

试题分析:1)通过解析式即可得出C点坐标,令y=0,解方程得出方程的解,即可求得AB的坐标.

2)根据AB的长和三角形面积求得H的纵坐标为3,代入解析式即可求得横坐标;

3)设M点横坐标为m,则PM=﹣m2﹣2m+3MN=﹣m﹣1×2=﹣2m﹣2,矩形PMNQ的周长d=﹣2m2﹣8m+2,将﹣2m2﹣8m+2配方,根据二次函数的性质,即可得出m的值,然后求得直线AC的解析式,把x=m代入可以求得三角形的边长,从而求得三角形的面积.

解:(1)由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知,C03),

y=0,则0=﹣x2﹣2x+3,解得x=﹣3x=1

A﹣30),B10).

2A﹣30),B10).

AB=4

∵△HAB的面积是6,点H是第二象限内抛物线上的一点,

H的纵坐标为3

y=3代入y=﹣x2﹣2x+33=﹣x2﹣2x+3,解得x1=0x2=﹣2

H﹣23);

3)由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知,对称轴为x=﹣1

M点的横坐标为m,则PM=﹣m2﹣2m+3MN=﹣m﹣1×2=﹣2m﹣2

矩形PMNQ的周长=2PM+MN=﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2m+22+10

m=﹣2时矩形的周长最大.

A﹣30),C03),设直线AC解析式为y=kx+b

解得:

解析式y=x+3,当x=﹣2时,则E﹣21),

EM=1AM=1

S=AMEM=

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