【题目】如图,抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求A、B、C的坐标;
(2)设点H是第二象限内抛物线上的一点,且△HAB的面积是6,求点的坐标;
(3)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边,当矩形PQMN的周长最大时,求△AEM的面积.
【答案】(1)A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3);(2)H(﹣2,3);(3).
【解析】
试题分析:(1)通过解析式即可得出C点坐标,令y=0,解方程得出方程的解,即可求得A、B的坐标.
(2)根据AB的长和三角形面积求得H的纵坐标为3,代入解析式即可求得横坐标;
(3)设M点横坐标为m,则PM=﹣m2﹣2m+3,MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2,矩形PMNQ的周长d=﹣2m2﹣8m+2,将﹣2m2﹣8m+2配方,根据二次函数的性质,即可得出m的值,然后求得直线AC的解析式,把x=m代入可以求得三角形的边长,从而求得三角形的面积.
解:(1)由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知,C(0,3),
令y=0,则0=﹣x2﹣2x+3,解得x=﹣3或x=1,
∴A(﹣3,0),B(1,0).
(2)∵A(﹣3,0),B(1,0).
∴AB=4,
∵△HAB的面积是6,点H是第二象限内抛物线上的一点,
∴H的纵坐标为3,
把y=3代入y=﹣x2﹣2x+3得3=﹣x2﹣2x+3,解得x1=0,x2=﹣2,
∴H(﹣2,3);
(3)由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知,对称轴为x=﹣1,
设M点的横坐标为m,则PM=﹣m2﹣2m+3,MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2,
∴矩形PMNQ的周长=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10,
∴当m=﹣2时矩形的周长最大.
∵A(﹣3,0),C(0,3),设直线AC解析式为y=kx+b,
则解得:,
∴解析式y=x+3,当x=﹣2时,则E(﹣2,1),
∴EM=1,AM=1,
∴S=AMEM=.
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(1)求m的取值范围;
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A.经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是科学家的事,与我们没有多大的关系
C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数
D.有10个苹果,将它放进9个筐中,则至少有一个筐中的苹果不少于2个
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