Question

已知四边形ABCD是平行四边形，对下列条件 ①∠A=90°，②∠BAC=∠DAC，③OA=OB，④AC⊥BD，分别用序号写在四张卡片上，如果从四张卡片中随机抽出两张．
（1）当抽得的卡片序号是①和②时，用①和②作为条件，是否能够得到平行四边形ABCD是正方形？若能，请证明；若不能，请说明理由；
（2）请用枚举法表示抽取的两张卡片的所有可能结果（用序号表示），并求出以抽取的两张卡片上的条件可以使平行四边形ABCD是正方形的概率．

Answer 1

考点：列表法与树状图法,平行四边形的判定,正方形的判定

专题：

分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，可得四边形ABCD是矩形，继而证得BA=BC，则可得四边形ABCD是正方形；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与以抽取的两张卡片上的条件可以使平行四边形ABCD是正方形的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解答：解：（1）抽取①和②时，?ABCD能成为正方形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角为90°的平行四边形是矩形），
∴∠ABC=90°，
又∵∠BAC=∠DAC，∠A=90°，
∴∠BAC=45°．
∴∠BCA=180°-90°-45°=45°，
∴BA=BC，
∴四边形ABCD是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）；

（2）画树状图得：

∵共有12个等可能结果，其中能使?ABCD成为正方形的有8个．
设事件A：能使□ABCD成为正方形，
∴P（A）=

8

12

=

2

3

．

点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与正方形的判定．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．