Question

已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点．
（1）求菱形ABCD的面积．
（2）求PM+PN的最小值．

Answer 1

考点：菱形的性质,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）利用菱形ABCD的两条对角线乘积的一半等于菱形面积求出即可；
（2）利用已知得出四边形BQNC是平行四边形，则NQ=BC，再利用菱形的性质以及勾股定理得出MP+NP=QP+NP=QN的值．

解答：解：（1）∵菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，
∴菱形ABCD的面积为：

1

2

×6×8=24；

（2）作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP=

1

2

AC=3，BP=

1

2

BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
∴PM+PN的最小值为：5．

点评：此题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练根据菱形的性质得出是解题关键．