Question

已知抛物线 y=mx²+4x+2m与x轴交于点A（，0）、B(，0)，且．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l对称点为E．是否存在 x轴上的点M、y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标．

 

Answer 1

（1）由题意可知，， 是方程 的两根，由根与系数的关系可得，+= ，=-2．

∵ ，

∴ ．即：．

∴m=1．

∴抛物线解析式为．

（2）       存在x轴，y轴上的点M，N，使得四边形DNME的周长最小．

∵，

∴抛物线的对称轴为 ，顶点D的坐标为（2，6）．

又抛物线与y轴交点C的坐标为（0，2），点E与点C关于对称，

∴E点坐标为（4，2）．     

作点D关于y轴的对称点D′，作点E关于x轴的对称点E′，

则D′坐标为（-2，6），E′坐标为（4，-2）．连接D′E′，交x轴于M，交y轴与N．

此时，四边形DNME的周长最小为D′E′+DE．（如图1所示）

延长E′E， D′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8．

∴D′E′= = ．

设对称轴与CE交于点G，在Rt△DG E中，DG=4，EG=2．

∴DE= =．

∴四边形DNME的周长的最小值为

10+ ．

（3）如图2， P为抛物线上的点，过P作PH⊥x轴，垂足为H．若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE．

∴PH=DG=4．

即 =4．

∴当y=4时， =4，解得

当y=-4时， =-4，解得．

∴点P的坐标为（ ，4），（，4），（，-4），（，-4）．