Question

如图，⊙O的半径为2，弧AB等于120°，E是劣弧AB的中点．
（1）如图①，试说明：点O、E关于AB对称（即AB垂直平分OE．）；
（2）把劣弧AB沿直线AB折叠（如图②）⊙O的动弦CD始终与折叠后的弧AB相切，求CD的长度的变化范围．

Answer 1

（1）证明：连接OA，OB，AE，BE，OE，且AB与OE交于点C．
∵E是劣弧AB的中点，∴OE⊥AB，且AC=BC（垂径定理），
∠AOE=∠BOE=∠AOB．
∵=120°，∴∠AOB=120，∠AOE=∠BOE=60°．
∵AO=OE，∴△AOE是等边三角形．
∴OC=EC（等腰三角形“三线合一”）
∴AB垂直平分OE．
因此，点O，E关于AB对称．

（2）解：当弦CD过圆心O时最长，即是直径，CD=4；
当弦CD过A或B与折叠后的弧相切时最短．这时CD与AE垂直（假设C与点A重合）．
连接DE，则DE过圆心O（直角所对的弦是直径），
∵∠AED=60度（在证对称时已证），
AE=AO=2，ED=4，所以，AD==2．
CD的长度变化范围是：．
分析：（1）利用垂径定理得出OE⊥AB，且AC=BC，∠AOE=∠BOE=∠AOB，进而得出△AOE是等边三角形，再利用三线合一求出即可；
（2）利用当弦CD过圆心O时最长，即是直径，CD=4，再利用当弦CD过A或B与折叠后的弧相切时最短分别求出即可．
点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理的推论和勾股定理，利用分类讨论思想得出CD最大和最小是解题关键．