Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，直径CD⊥AB，垂足为E，弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连结AD．
（1）求证：AD•BE=DE•BC；
（2）请判断线段BM、MN、MF之间有怎样的等量关系，并给予证明；
（3）当∠ACB=30°，⊙O半径为4时，求

S△ANF

S△ABF

的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用△ADE∽△CBE，即可得出AD•BE=DE•BC；
（2）连接AM，利用角的关系可得出△AMN∽△FMA，利用相似比即可得出线段BM、MN、MF之间的等量关系；
（3）由∠ACB=30°，⊙O半径为4时可求出AB的值，利用特殊直角三角形可求得MF的值，再利用（2）中的AM²=MN•MF，即可求出MN的值，再求出FN，BF的值，利用

S△ANF

S△ABF

=

FN

BF

求解即可．

解答：证明：（1）∵CD⊥AB，∠DAE=∠ECB，
∴△ADE∽△CBE，
∴

AD

BC

=

DE

BE

，
∴AD•BE=DE•BC；
（2）连接AM，由对称性可知，AM=BM，∠3=∠4，

∵BF=AC，
∴

BF

=

AC

则

AB

=

FC

，
∴∠5=∠4，
又∵∠3=∠4，
∴∠3=∠5，
∵∠AMN=∠AMF，
∴△AMN∽△FMA，
∴

AM

MN

=

MF

AM

，
∴AM²=MN•MF；
（3）∵∠ACB=30°，
∴∠5=∠ACB=∠4=30°
∵AC=BC，
∴∠6=∠7=45°，
又∵r=4，△AOB为正三角形，
∴AB=4，
∴BM=AM=

2

2

AB=2

2

，
在RT△AMFK中，∠5=30°，
∴MF=

3

=AM=2

6

，
则由（2）得MN=

AM2

MF

=

2 6

3

．
∴FN=MF-MN=2

6

-

2 6

3

=

4 6

3

，
BF=BM+MF=2

2

+2

6

，
∴

S△ANF

S△ABF

=

FN

BF

=

4 3 6

2 2 +2 6

=1-

3

3

．

点评：本题主要考查了圆的综合题，涉及相似三角形，圆周角等知识，解题的关键是利用三角形相似求线段之间的关键．