Question

已知点A（-1，0），C（0，-3），双曲线y=-

8

x

（x＞0）．
（1）如图1，点M为双曲线上一点，且S_△ACM=

5

2

，求点M的坐标．
（2）如图2，点N为y轴上一点，将线段AN沿线段AC的垂直平分线折叠，使点N的对应点P恰好落在双曲线上，求直线AP的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）分成直线AM与y轴交点在C上方和交点在C下方两种情况进行讨论，设出M的坐标，求得AM和y轴的交点，利用三角形的面积公式即可求得M的坐标；
（2）首先求得AC的垂直平分线的解析式，设N的坐标是（0，b），求得NP的解析式，则利用n表示出P的坐标，代入反比例函数解析式即可得到关于n的方程，求得n的值，进而求得P的坐标，求得直线AP的解析式．

解答：解：（1）设M（m，-

8

m

），当直线AM与y轴交点在C上方时，设解析式为y=kx+b，
根据题意得：

-k+b=0 km+b=- 8 m

，
解得：m=k=-

8

m(m+1)

，
则一次函数的解析式是y=-

8

m(m+1)

x-

8

m(m+1)

，
当x=0时，y=-

8

m(m+1)

．
设M的横坐标是m，
则2S_△ACM=[-

8

m(m+1)

+3]（m+1）=5，
解得：m=2，
则M的坐标是（2，-4）；
当交点在C下方时 2S△_ACM=[-3+

8

m(m+1)

]（m+1）=5，
解得m=

2 10 -4

3

，则M的坐标是（

2 10 -4

3

，-2

10

-4）；

（2）设N（0，b） 则因为N关于线段AC的垂直平分线对称得到的P在双曲线上，
设直线AC的解析式是y=ax+c，
根据题意得：

-a+c=0 c=-3

，
解得：

a=-3 c=-3

，
故直线AC的解析式是y=-3x-3．
AC的中点是（-

1

2

，-

3

2

），则线段AC的垂直平分线的解析式是y=

1

3

x-

4

3

．
直线NP的解析式是y=-3x+b，
解方程组：

y=-3x+b y= 1 3 x- 4 3

，
解得：

x= 12-3b 10 y= 19b-36 10

，
则P的坐标是（

12-3b

5

，

14b-36

5

），
根据题意得：

12-3b

5

•

14b-36

5

=-8，
解得：b=2．
则N（0，2）P（2，-4），
则AP解析式为y=-

4

3

x-

4

3

．

点评：此题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出交点坐标．同时要注意运用数形结合的思想．