Question

11．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=AD=18，∠CDE=45°，CE=15，求线段AE的长．

Answer 1

分析 作DM⊥BC于M，延长BM到N使得MN=AE，由△DAE≌△DMN得∠ADE=∠MDN，DE=DN，进而可以证明△CDE≌△CDN得EC=NC，由EC=AE+MC，设AE=x，则EB=18-x，BC=BM-CM=18-（15-x）=3+x，在RT△EBC中利用勾股定理即可解决．

解答 解：作DM⊥BC于M，延长BM到N使得MN=AE．
∵∠A=∠B=∠DMB=90°
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD=AB=18，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD=DM=BM，
∵AD=DM，∠A=∠DMN=90°，AE=MN，
∴△DAE≌△DMN，
∴∠ADE=∠MDN，DE=DN，
∵∠ADM=90°，∠EDC=45°，
∴∠ADE+∠CDM=45°，
∴∠CDM+∠MDN=45°，
∴∠CDN=∠CDE=45°，
∵CD=CD，∠CDN=∠CDE，DE=DN，
∴△CDE≌△CDN，
∴EC=NC，
∵AE=MN，
∴EC=AE+MC，
设AE=x，则EB=18-x，BC=BM-CM=18-（15-x）=3+x，
在RT△EBC中，∵EC²=EB²+BC²，
∴15²=（18-x）²+（3+x）²，
∴x=6或9，
∴AE为6或9．

点评 本题是四边形综合题型，主要考查了正方形的性质全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，通过辅助线构造正方形，再利用旋转的思想构造全等三角形解决问题．