Question

9．在△ABC中，设$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow b$，P是中线AE与中线CF的交点，则$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$．（用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示）

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，利用三角形法则，求得$\overrightarrow{EA}$，又由P是中线AE与中线CF的交点，利用重心的性质，即可求得$\overrightarrow{EP}$，继而求得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow b$，AE是△ABC的中线，
∴$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{BE}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，
∵$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow a$，
∴$\overrightarrow{EA}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CA}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$，
∵P是中线AE与中线CF的交点，
∴$\overrightarrow{EP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{EA}$=$\frac{1}{3}$（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EP}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$．

点评 此题考查了平面向量的知识以及三角形重心的性质．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．